Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính độ dài AH, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Ta sẽ sử dụng định lý Pythagore: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng căn bậc hai của tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Gọi:
- \( AB = c = 20 \)
- \( AC = b = 48 \)
- \( BC = a = 52 \)

Theo định lý Pythagore, đúng với một tam giác vuông tại A sẽ có:

\[
c^2 + b^2 = a^2
\]

Thay các giá trị vào:

\[
20^2 + 48^2 = 52^2
\]

Tính toán các bình phương:

\[
400 + 2304 = 2704
\]

Bây giờ kiểm tra xem có bằng nhau không:

\[
2704 = 2704
\]

Vậy, ta có \( c^2 + b^2 = a^2 \) đúng, nên tam giác ABC vuông tại A.

### b) Tính độ dài AH

Theo định nghĩa, AH là đường cao từ A đến cạnh BC trong tam giác ABC. Để tính độ dài AH, ta có thể sử dụng công thức:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Thay các giá trị:

\[
AH = \frac{20 \cdot 48}{52}
\]

Tính toán:

\[
AH = \frac{960}{52} = \frac{240}{13} \approx 18.46
\]

Vậy độ dài của AH là \( \frac{240}{13} \).

Tóm lại, tam giác ABC vuông tại A và độ dài AH là \( \frac{240}{13} \).