Để chứng minh rằng

\[
A = \frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \ldots + \frac{1}{80} > \frac{7}{12}
\]

trước tiên, chúng ta sẽ tính tổng \(A\).

Tổng này có \(n = 80 - 41 + 1 = 40\) số hạng.

Chúng ta có thể ước lượng tổng \(A\) bằng cách sử dụng tích phân hoặc ước lượng từ các số hạng.

### Bước 1: Tính giới hạn trên và dưới cho từng số hạng trong tổng.

Từng số hạng \(\frac{1}{k}\) với \(k\) từ 41 đến 80.

- Số hạng lớn nhất là \(\frac{1}{41}\) và số hạng nhỏ nhất là \(\frac{1}{80}\).
- Giữa 41 và 80, số hạng trung bình là \(\frac{1}{k}\) cho các \(k\) trong khoảng này.

### Bước 2: Sử dụng trung bình cộng.

Tính trung bình mỗi số hạng trong khoảng từ 41 đến 80:

\[
\text{Số hạng trung bình} = \frac{1}{n} \sum_{k=41}^{80} \frac{1}{k}
\]

Vì số hạng giảm dần nên ta có thể ước lượng tổng bằng các số hạng lớn hơn.

### Bước 3: Ước lượng tổng.

Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Harmonic để ước lượng \(A\):

\[
A \approx \ln(80) - \ln(40) \quad (\text{Sử dụng công thức tích phân ước lượng cho tổng số hạng})
\]

Điều này đưa ra rằng:

\[
A > \ln(2) \approx 0.693 \text{ (khoảng)}
\]

### Bước 4: So sánh với 7/12.

\(\frac{7}{12} = 0.5833\)

Vì \(A > 0.693\) và \(0.693 > 0.5833\), ta có:

\[
A > \frac{7}{12}
\]

### Kết luận.

Chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
A = \frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \ldots + \frac{1}{80} > \frac{7}{12}
\]

Điều này hoàn tất việc chứng minh.