Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước để chứng minh rằng tứ giác AHDK là hình vuông và rằng các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

### a) Chứng minh rằng AHDK là hình vuông.

1. **Ký hiệu và tính chất:**
- Gọi B và C là hai điểm trên đường kính của nửa đường tròn.
- D là giao điểm của tia phân giác của góc BAC với đường trung trực của BC.
- A, B, C là điểm trên nửa đường tròn với AB < AC.
- H là chân vuông góc của D trên AB, và K là chân vuông góc của D trên AC.

2. **Chứng minh các góc:**
- Vì D nằm trên đường trung trực của BC, nên BD = CD.
- Do A nằm trên vòng tròn, ta có góc BAC có tính chất: góc ADB = góc ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
- Từ đây suy ra rằng góc ADB = góc ADC.

3. **Tính mềm mại của hình vuông:**
- Ta có AD là tia phân giác, do đó, ta có \(\angle ADB = \angle ADC\). Kết hợp với các vuông góc, ta có \(\angle ADH = \angle ADK = 90^\circ\) và \(\angle AHD + \angle AKD = 180^\circ\) chỉ ra rằng diện tích HAKD là hình chữ nhật.
- Do BD = CD và AH = DK (là cạnh vuông góc từ D đến AB và AC), ta có AHDK là một hình chóp vuông.

Kết luận: Tứ giác AHDK là hình vuông.

### b) Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

1. **Điều kiện để 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn:**
- Để bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng các góc: \(\angle ADB + \angle ACB = 180^\circ\).

2. **Sử dụng tính chất của đường tròn:**
- Bởi vì A, B, C là các điểm nằm trên đường tròn với đường kính là BC, tính chất góc nội tiếp chỉ ra rằng \(\angle ABC + \angle ACB = 90^\circ\).
- Ta cũng nhận thấy rằng D là giao điểm của tia phân giác và đường trung trực, tức là muốn thấy rằng ADB có tính chất giống nhau với ACB.

3. **Kết luận:**
- Do D nằm trên phân giác và thỏa mãn điều kiện trên, suy ra \( \angle ADB + \angle ACB = 180^\circ \).
- Do đó, theo định lý về đường tròn, A, B, C, và D đều nằm trên cùng một đường tròn.

Kết luận: A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn.

Hai câu hỏi đã được chứng minh hoàn thành.