Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý về tam giác.

**a) Chứng minh rằng BC là tia phân giác của góc ABD:**

1. **Kí hiệu các góc:** Gọi góc AHB = x, góc AHC = y. Do AH là đường cao, nên góc AHB = góc AHC = x (góc AHB và AHC cùng ở một đỉnh A và có chung cạnh AH, và BC là đường thẳng, tức là H nằm trên BC).

2. **Xét điểm D:** Theo đề bài, điểm D được lấy trên tia đối của tia HA sao cho HA = HD. Như vậy, AH = HD ⇒ H là trung điểm của đoạn AD (vì HA = HD).

3. **Góc ABD:**
- Gọi góc ADB là z.
- Chúng ta có tam giác AHD và AH vuông góc với BC tại H, nên góc AHB + góc BHD = 180° ⇒ x + z = 180° ⇒ z = 180° - x.

4. **Góc ADB và góc BCD:**
- Từ đây, ta có ABH (góc đối diện với BHD) cũng là một góc tạo bởi BC và AD. Do đó, ta có góc ABD = góc AHB.

5. **Tia phân giác:**
- Do góc AHB = góc ADB, và ta có mối quan hệ ABH và BHD (góc phản diện), nên BC chính là tia phân giác của góc ABD.

**Kết luận:** BC là tia phân giác của góc ABD.

---

**b) Chứng minh rằng CA = CD:**

1. **Xét điểm D:** Chúng ta biết rằng HA = HD và H là trung điểm của AD.

2. **Tam giác AHC và DHC:** Ta có AH vuông góc với HC, nên tứ giác AHCD là hình thang vuông (do có hai cạnh vuông góc và hai cạnh còn lại bằng nhau).

3. **Số đo các đoạn:**
- Ta có đoạn AC = AH + HC và đoạn DC = DH + HC = AH + HC.
- Vì HA = HD, nên ta đã chứng minh rằng CA = CD.

**Kết luận:** CA = CD.

Vậy, thông qua các tính chất hình học và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, chúng tôi đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.