Chứng minh cho tam giác ABC vuông tại A với BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC:

**Câu A: Chứng minh \( CB = BE \)**

Trong tam giác vuông ABC, với A là góc vuông, BD và CE lần lượt là chiều cao. Theo tính chất của chiều cao, ta có:
- \( BE \) là chiều cao từ B xuống cạnh AC, tức là khoảng cách từ B đến AC.
- \( CB \) cũng là khoảng cách từ C tới AC (vì A là góc vuông).

Do đó, khoảng cách từ C tới AC là bằng khoảng cách từ B tới AC, nên ta có:
\[
CB = BE
\]

**Câu B: Gọi I là giao điểm của CD và BE. Chứng minh AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.**

Trong tam giác vuông ABC:
- CD chính là đường phân giác của góc ACB, và BE giữ vai trò là chiều cao từ B xuống AC.
- Gọi AI là đường thẳng qua A và I. Ta cần chứng minh AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Ta muốn chứng minh \( BI = IC \):
- Xét tam giác BAI và CAI, trong đó:
- \( AB = AC \) (vì A là góc vuông)
- \( AI \) là chung.

Từ đó suy ra:
\[
AB^2 = AI^2 + BI^2 \quad \text{và} \quad AC^2 = AI^2 + IC^2
\]

Do \( AB = AC \), ta có:
\[
AI^2 + BI^2 = AI^2 + IC^2
\]
Suy ra:
\[
BI^2 = IC^2 \implies BI = IC
\]

Vậy AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

**Câu C: Chứng minh \( BC \parallel DE \)**

Để chứng minh câu này, chúng ta cần xem xét vị trí của các đường thẳng BC và DE:
- Ta có \( BE \) là chiều cao từ B và nối với cạnh AC, và CD là chiều cao từ C nối tới AB.
- Với định nghĩa của chiều cao trong tam giác vuông này, ta nhận thấy rằng các đoạn thẳng BE và CD đều vuông góc với AC và AB tương ứng.

Do đó, \( BC \) và \( DE \) đều là các đoạn thẳng nằm trong các tam giác vuông tương ứng:
- Nếu BD và CE là hai đoạn thẳng nối các đỉnh A, B, và C, thì hai đoạn thẳng này song song với nhau do tính chất vuông góc.

Vì vậy, ta kết luận rằng \( BC \parallel DE \).

Tóm lại:
- \( CB = BE \)
- \( AI \) là đường trung trực của BC
- \( BC \parallel DE \)