Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước như sau:

1. **Tính chiều cao của lăng trụ**: Không gian chiều cao \(AA'\) tạo với mặt phẳng đáy \(ABC\), và theo đề bài, \(A'\) nằm trên mặt phẳng (ABC) tại điểm trung điểm của cạnh \(BC\).

Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và xác định góc giữa \(AA'\) và mặt phẳng (ABC) mà bài toán nói tới. Sử dụng thông tin này để tính chiều cao \(AA'\).

2. **Tính diện tích đáy**: Đáy lăng trụ là tam giác đều với cạnh \(20\). Diện tích của tam giác đều được tính bằng:
\[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
\]
Trong đó \(a = 20\):
\[
S = \frac{20^2 \sqrt{3}}{4} = 100 \sqrt{3}
\]

3. **Tính thể tích của lăng trụ**: Thể tích \(V\) của lăng trụ được tính bằng công thức:
\[
V = S \cdot h
\]
Với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao (trong trường hợp này là chiều dài \(AA'\)).

4. **Lưu ý về góc**: Theo đề bài, \(AA'\) tạo góc \(45^\circ\) với mặt phẳng đáy. Dùng thông tin góc này để xác định chiều cao:
\[
h = AA' = \text{chiều cao thực tế} = \sqrt{(AA'_{trên})^2 + (AA'_{dưới})^2}
\]
Trong trường hợp này, với góc \(45^\circ\), chiều cao sẽ tương đương với độ dài của đoạn thẳng trên, do đó bạn sẽ có \(h = AA'\).

Cuối cùng, kết hợp tất cả công thức và thông tin để tính thể tích \(V\) của lăng trụ:
\[
V = 100 \sqrt{3} \cdot h
\]

Nếu bạn biết chiều cao \(h\) cụ thể, bạn có thể thay vào để tính ra thể tích \(V\) cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).