Để giải phương trình \((x + 3) \cdot \sqrt{48 - 8x - x^2} = x - 24\) bằng phương pháp biến đổi thành tích, ta tiến hành như sau:

1. **Đưa phương trình về dạng tích**:
\[
(x + 3) \cdot \sqrt{48 - 8x - x^2} - (x - 24) = 0
\]
Tạm gọi \( y = \sqrt{48 - 8x - x^2} \), ta có phương trình thành:
\[
(x + 3) \cdot y = x - 24
\]

2. **Bình phương cả hai vế** (nhớ rằng khi bình phương ta cần kiểm tra nghiệm):
\[
(x + 3)^2 \cdot (48 - 8x - x^2) = (x - 24)^2
\]
\[
(x^2 + 6x + 9)(48 - 8x - x^2) = x^2 - 48x + 576
\]

3. **Mở rộng và đơn giản hóa**:
\[
(48x^2 - 8x^3 - x^4 + 288x - 48x^2 + 9x - 432) = x^2 - 48x + 576
\]
Đưa về một vế:
\[
-x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 288x - 432 - 576 = 0
\]

4. **Rút gọn**:
\[
-x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 864x - 1008 = 0
\]
Nhân hai vế với -1:
\[
x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 864x + 1008 = 0
\]

5. **Sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm nguyên**:
Xem xét nghiệm nguyên, ta có thể thử các giá trị như \(x = 6\).

6. **Kiểm tra nghiệm**:
Thay \(x = 6\) vào phương trình ban đầu:
\[
(6 + 3) \cdot \sqrt{48 - 48 - 36} = 6 - 24 \Rightarrow 9 \cdot 0 = -18
\]
Nghiệm không hợp lệ.

7. **Thử tiếp cho các giá trị khác**:
Tiến hành thử nghiệm cho các giá khác như \(x = 0, x = 8, \ldots\).

Sau khi đã tìm xong các lựa chọn nghiệm thực tế, cần xác định lại các giá trị nghiệm cho phù hợp với điều kiện của bài toán. Nếu cần, có thể sử dụng các phương pháp đồ thị hoặc tính toán kỹ hơn để tìm các nghiệm còn lại và đảm bảo tính chính xác.