Để tính tốc độ trung bình của vật trên cả đoạn đường AB, ta cần xác định tổng quãng đường và tổng thời gian mà vật đã di chuyển.

Giả sử quãng đường AB có độ dài là \( S \).

1. **Quá trình di chuyển:**
- Phần đầu tiên: Vật đi \( \frac{1}{3}S \) với tốc độ \( v_1 = 15 \) km/h.
- Thời gian đi phần này:
\[
t_1 = \frac{\frac{1}{3}S}{v_1} = \frac{\frac{1}{3}S}{15} = \frac{S}{45} \text{ giờ}
\]

- Phần còn lại: \( \frac{2}{3}S \). Vật mất 3/4 thời gian tổng để đi đoạn này, có nghĩa là thời gian đi đoạn này là \( t_2 = \frac{3}{4}(t_1 + t_2 + t_3) \) với \( t_3 \) là thời gian đi đoạn cuối.

2. **Xác định thời gian đi đoạn còn lại:**
- Vật đi với tốc độ \( v_2 = 10 \) km/h, thời gian đi phần này là:
\[
t_2 = \frac{\frac{2}{3}S}{10} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15} \text{ giờ}
\]

3. **Thời gian di chuyển phần cuối:**
- Đoạn cuối: Vật đi đoạn đường còn lại \( v_3 = 12 \) km/h, quãng đường đi được là \( S - \frac{1}{3}S - \frac{2}{3}S = S \) (do đã đi hết đường).
- Thời gian đi đoạn cuối:
\[
t_3 = \frac{\frac{1}{3}S}{12} = \frac{S}{36} \text{ giờ}
\]

4. **Tổng thời gian:**
- Tổng thời gian \( T \):
\[
T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{45} + \frac{S}{15} + \frac{S}{36}
\]

5. **Tính tổng thời gian:**
- Tìm mẫu số chung của các phân số: 180.
\[
T = \frac{S}{45} + \frac{S}{15} + \frac{S}{36} = \frac{4S}{180} + \frac{12S}{180} + \frac{5S}{180} = \frac{21S}{180}
\]
\[
T = \frac{7S}{60}
\]

6. **Tốc độ trung bình:**
- Tốc độ trung bình \( V_{tb} \) được tính bằng công thức:
\[
V_{tb} = \frac{S}{T} = \frac{S}{\frac{7S}{60}} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ km/h}
\]

Vậy tốc độ trung bình của vật trên cả đoạn đường là khoảng \( 8.57 \) km/h.