Để giải bài toán này, ta cần xem xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O;5cm)\).

### a. Xét vị trí tương đối của đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O)\)

1. **Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a** là 3 cm.
2. **Bán kính của đường tròn \((O)\)** là 5 cm.

Do đó, để xác định vị trí tương đối, ta so sánh khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(a\) với bán kính của đường tròn.

- Nếu khoảng cách (3 cm) < bán kính (5 cm), thì đường thẳng \(a\) cắt đường tròn.
- Nếu khoảng cách (3 cm) = bán kính (5 cm), thì đường thẳng \(a\) tiếp xúc với đường tròn.
- Nếu khoảng cách (3 cm) > bán kính (5 cm), thì đường thẳng \(a\) không cắt và cũng không tiếp xúc với đường tròn.

Ở đây, khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(a\) là 3 cm < 5 cm (bán kính của đường tròn), vì vậy đường thẳng \(a\) cắt đường tròn tại hai điểm.

### b. Tính độ dài BC

Gọi \(B\) và \(C\) là hai giao điểm của đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O;5cm)\).

Để tính độ dài \(BC\), ta cần biết rằng khoảng cách giữa hai giao điểm \(B\) và \(C\) (điểm cắt của đường thẳng và đường tròn) được xác định bằng công thức:

\[
BC = 2 \sqrt{R^2 - d^2}
\]

Trong đó:
- \(R = 5cm\) (bán kính của đường tròn),
- \(d = 3cm\) (khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(a\)).

Sử dụng công thức trên, ta có:

\[
BC = 2 \sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \sqrt{25 - 9} = 2 \sqrt{16} = 2 \times 4 = 8cm
\]

**Kết luận:**

1. Đường thẳng \(a\) cắt đường tròn \((O;5cm)\) tại hai điểm \(B\) và \(C\).
2. Độ dài \(BC\) là \(8cm\).