Để xác định các hằng số \( a \) và \( b \), chúng ta cần tìm điều kiện cho các đa thức chia hết cho những đa thức cho trước.

1. **Câu a**: \( x^4 + ax^2 + b \) chia hết cho \( x^2 - x + 1 \).

Để \( P(x) = x^4 + ax^2 + b \) chia hết cho \( Q(x) = x^2 - x + 1 \), ta cần các nghiệm của \( Q(x) \) (các số phức) cũng là nghiệm của \( P(x) \). Tính nghiệm của \( Q(x) \):

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Giả sử \( r_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \) và \( r_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \), ta có \( P(r_1) = 0 \) và \( P(r_2) = 0 \). Từ đó, lập hệ phương trình để tìm \( a \) và \( b \).

2. **Câu b**: \( ax^3 + bx^2 + 5x - 50 \) chia hết cho \( x^2 + 3x - 10 \).

Tương tự, tìm nghiệm của \( R(x) = x^2 + 3x - 10 \):

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = 4 \quad \text{và} \quad -7
\]

Giả sử \( r_1 = 4 \) và \( r_2 = -7 \), ta có:

\[
P(r_1) = 0 \quad \text{và} \quad P(r_2) = 0
\]

3. **Câu c**: \( x^4 + bx^3 + 1 \) chia hết cho \( x^2 + ax + b \).

Tương tự như trên, tìm nghiệm và đưa ra hệ phương trình để xét điều kiện chia hết.

4. **Câu d**: \( x^4 + 4 \) chia hết cho \( x^2 + ax + b \).

Sử dụng công thức tương tự, tìm điều kiện cho đa thức chia hết.

Cuối cùng, giải từng hệ phương trình để xác định các giá trị cụ thể cho \( a \) và \( b \). Có thể sử dụng phương pháp thay số hoặc hệ phương trình để tìm giá trị cụ thể.