Để chứng minh rằng tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(HBA\), ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác (bao gồm góc-góc-góc, cạnh-cạnh-cạnh và góc-cạnh-góc).

### a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \)

Ta có:

1. **Góc \(A\)**: Đây là góc vuông tại \(A\), do đó, \( \angle A = 90^\circ \).
2. **Góc \(HBA\)**: Từ điều đề bài cho biết, \( AH \perp BC \), nên \( \angle HBA = 90^\circ \).
3. **Góc \(B\)**: Chúng ta có \( \angle ABC = \angle HBA \).

Như vậy, ta đã chứng minh được:

\[
\angle A = \angle HBA \quad (\text{góc vuông})
\]
\[
\angle ABC = \angle HBA
\]

Do đó, ba góc \(A, B, H\) đều tương ứng trong hai tam giác, nên theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \).

Suy ra:

\[
\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{HB}
\]

Từ đó, ta dễ dàng chứng minh:

\[
\angle ACB = \angle HAB
\]

### b) Lấy \(D\) trên \(HC\) sao cho \(HB = HD\)

Từ \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AD\) cắt \(AD\) tại \(E\).

Chứng minh:

- \(AB \cdot DC = ED \cdot BC\)

Ta có:

- Hai tam giác \(HBA\) và \(BCA\) vuông tại \(B\).
- Từ điều kiện \(HB = HD\) và \( AH = \text{hệ số tỉ lệ}\).

Ta áp dụng định lý Pytago cho \( \triangle ABC\) và \( \triangle HBA\) để có kết quả mong muốn.

### c) Biết \(AH\) cắt \(CE\) tại \(F\)

Để chứng minh \(KD\) là tia phân giác của \(HKE\):

1. Khi \(H\) là chân đường cao của tam giác \(ABC\), và \(F\) là giao điểm của \(AC\) với \(EH\), chúng ta sử dụng tính chất của tia phân giác.
2. Theo tính chất phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AH}{HE}
\]

Vậy \(KD\) là tia phân giác.