Bài toán yêu cầu tìm số tự nhiên \( N \) mà có điều kiện như sau:

1. \( N \) có dạng \( 5a27b \)
2. \( N \) chia cho 5 dư 1
3. \( N \) chia cho 2 dư 0
4. \( N \) chia cho 3 dư 4
5. \( N \) chia cho 5 dư 4

Dựa trên điều kiện này, chúng ta có thể đi từng bước để tìm ra giá trị phù hợp cho \( a \) và \( b \).

### Phân tích từng điều kiện:

1. **Chia cho 2 dư 0**: Điều này có nghĩa là \( N \) phải là số chẵn, do đó \( b \) phải là một số chẵn (0, 2, 4, 6, 8).

2. **Chia cho 5 dư 1**: Điều kiện này cho biết chữ số tận cùng thứ 5 của \( N \), vì số đó kết thúc bằng 5, chúng ta cần đảm bảo việc kiểm tra có phù hợp.

3. **Chia cho 3 dư 4**: Chúng ta có thể kiểm tra tổng các chữ số của \( N \).

Giả sử \( N = 5a27b \), tổng của các chữ số sẽ là \( 5 + a + 2 + 7 + b = 14 + a + b \). Để chia cho 3 dư 4, ta cần \( (14 + a + b) \mod 3 = 4 \), hoặc viết lại là \( (a + b) \mod 3 = 1 \).

### Phương pháp giải:

1. **Giả sử** \( b \) là một số chẵn: 0, 2, 4, 6, hoặc 8. Tương ứng vào để tìm ra số thỏa mãn.

2. Với các giá trị \( a = 0, 1, 2, \ldots, 9 \), dựa trên các điều kiện.

3. Kiểm tra từng trường hợp cho đến khi tìm được số thích hợp.

### Ví dụ:

Giả sử \( b = 0 \):

- Tổng số: \( 14 + a + 0 \) chia cho 3, tiếp tục thử với các giá trị của \( a \).

Tiếp tục thử với các giá trị khác nhau cho đến khi tìm ra giải pháp hoàn chỉnh.

### Kết luận:

Khi áp dụng quy trình như vậy, bạn có thể tìm được các giá trị đạt điều kiện đề ra cho \( N \).