Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tính chu vi của đường tròn mà hai vật chuyển động. Đường kính của đường tròn là 20 cm, do đó:

\[
C = \pi \times D = \pi \times 20 \text{ cm} \approx 62.83 \text{ cm}
\]

**Trường hợp 1: Hai vật chuyển động cùng chiều**

Khi hai vật chuyển động cùng chiều, chúng gặp nhau mỗi 20 giây. Gọi vận tốc của vật thứ nhất là \(v_1\) và vận tốc của vật thứ hai là \(v_2\) (đơn vị là cm/s). Thời gian hai vật gặp nhau 1 lần có thể được tính bằng quãng đường mà vật chạy thêm để gặp nhau:

\[
(v_1 - v_2) \times 20 = C
\]

Từ đó ta có:

\[
(v_1 - v_2) \times 20 = 62.83
\]

=>

\[
v_1 - v_2 = \frac{62.83}{20} \approx 3.1415 \text{ cm/s} \quad (1)
\]

**Trường hợp 2: Hai vật chuyển động ngược chiều**

Khi hai vật chuyển động ngược chiều, chúng gặp nhau sau mỗi 4 giây. Tổng quãng đường mà cả hai vật chạy trong 4 giây sẽ là chu vi của đường tròn:

\[
(v_1 + v_2) \times 4 = C
\]

Từ đó ta có:

\[
(v_1 + v_2) \times 4 = 62.83
\]

=>

\[
v_1 + v_2 = \frac{62.83}{4} \approx 15.7075 \text{ cm/s} \quad (2)
\]

**Giải hệ phương trình (1) và (2)**

Ta có hai phương trình:

1. \(v_1 - v_2 = 3.1415\)
2. \(v_1 + v_2 = 15.7075\)

Cộng hai phương trình lại:

\[
(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 3.1415 + 15.7075
\]

=>

\[
2v_1 = 18.849 \quad \Rightarrow \quad v_1 = 9.4245 \text{ cm/s}
\]

Thay \(v_1\) vào phương trình (2):

\[
9.4245 + v_2 = 15.7075
\]

=>

\[
v_2 = 15.7075 - 9.4245 \approx 6.283 \text{ cm/s}
\]

**Kết quả cuối cùng**:

- Vận tốc của vật thứ nhất ( \( v_1 \) ) là khoảng 9.425 cm/s.
- Vận tốc của vật thứ hai ( \( v_2 \) ) là khoảng 6.283 cm/s.