Tìm x, y: 2x^2 + 9y^2 - 6xy + 2x - 12y + 5 = 0

Để tìm nghiệm \( (x, y) \) từ phương trình bậc hai hỗn hợp \( 2x^2 + 9y^2 - 6xy + 2x - 12y + 5 = 0 \), ta có thể xem xét phương trình như một phương trình bậc hai theo biến \( x \).

Phương trình có thể viết lại theo dạng:

\[
2x^2 - 6xy + (9y^2 + 2x - 12y + 5) = 0
\]

1. **Tính delt** của phương trình bậc hai theo \( x \):

\[
a = 2, \quad b = -6y + 2, \quad c = 9y^2 - 12y + 5
\]

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-6y + 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (9y^2 - 12y + 5)
\]

Tính toán \(\Delta\):

\[
\Delta = (36y^2 - 24y + 4) - 8(9y^2 - 12y + 5)
\]

\[
= 36y^2 - 24y + 4 - (72y^2 - 96y + 40)
\]

\[
= 36y^2 - 24y + 4 - 72y^2 + 96y - 40
\]

\[
= -36y^2 + 72y - 36
\]

\[
= -36(y^2 - 2y + 1) = -36(y - 1)^2
\]

2. **Điều kiện có nghiệm**:

Để phương trình có nghiệm, cần có \(\Delta \geq 0\):

\[
-36(y - 1)^2 \geq 0
\]

Điều này chỉ đúng khi:

\[
(y - 1)^2 = 0 \implies y = 1
\]

3. **Thay giá trị \( y = 1 \) vào phương trình để tìm \( x \)**:

Thay \( y = 1 \) vào phương trình gốc:

\[
2x^2 + 9(1)^2 - 6x(1) + 2x - 12(1) + 5 = 0
\]

\[
2x^2 + 9 - 6x + 2x - 12 + 5 = 0
\]

\[
2x^2 - 4x + 2 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 2:

\[
x^2 - 2x + 1 = 0
\]

\[
(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1
\]

4. **Kết luận**:

Nghiệm của phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 1)
\]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (1, 1) \).