Để giải bài toán này, ta cần xác định hiệu suất làm việc của hai người.

1. **Tính hiệu suất làm việc**:
- Người thứ nhất làm xong bộ bàn ghế trong 15 ngày, nên mỗi ngày người này hoàn thành \( \frac{1}{15} \) bộ.
- Người thứ hai làm xong bộ bàn ghế trong 20 ngày, nên mỗi ngày người này hoàn thành \( \frac{1}{20} \) bộ.

2. **Cùng làm việc**:
- Nếu cả hai người cùng làm việc, tổng hiệu suất làm việc mỗi ngày là:
\[
\frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60}
\]
- Vậy, mỗi ngày cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành \( \frac{7}{60} \) bộ bàn ghế.

3. **Thời gian thực hiện**:
- Người thứ nhất làm 8 ngày, nên số công việc hoàn thành là:
\[
8 \times \frac{1}{15} = \frac{8}{15}
\]
- Số lượng công việc còn lại sau 8 ngày là:
\[
1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}
\]

4. **Thời gian người thứ hai hoàn thành số công việc còn lại**:
- Khi người thứ nhất nghỉ, chỉ còn người thứ hai làm. Thời gian để người thứ hai hoàn thành \( \frac{7}{15} \) bộ là:
\[
\text{Thời gian} = \frac{\text{Số công việc còn lại}}{\text{Hiệu suất làm việc của người thứ hai}} = \frac{\frac{7}{15}}{\frac{1}{20}} = \frac{7}{15} \times 20 = \frac{140}{15} = \frac{28}{3} \text{ ngày} \approx 9.33 \text{ ngày}
\]

5. **Kết luận**:
- Sau 8 ngày mà người thứ nhất nghỉ, người thứ hai cần khoảng 9.33 ngày nữa để hoàn thành bộ bàn ghế. Vậy tổng thời gian từ lúc bắt đầu cho đến khi hoàn thành bộ bàn ghế là:
\[
8 + \frac{28}{3} \approx 8 + 9.33 = 17.33 \text{ ngày}
\]
- Người thứ hai sẽ hoàn thành bộ bàn ghế sau khoảng 9.33 ngày nữa từ lúc người thứ nhất nghỉ.