Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và định lý Thales.

### Câu a:
Ta có:

\[
AE^2 = EK \cdot EG
\]

**Chứng minh:**

Xét tam giác ABE và tam giác ADE. Do A là đỉnh chung và hai cặp cạnh (AB, AD) // (BC, CD) nên theo định lý Thales:

\[
\frac{AE}{AK} = \frac{BE}{BG}
\]

Từ đó, ta tìm được tỉ lệ đoạn AB, AC tương ứng với nhau.

### Câu b:
Ta có:

\[
\frac{1}{AE} = \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG}
\]

**Chứng minh:**

Sử dụng định lý tỉ số đoạn thẳng, nếu AE, AK và AG thuộc một tỉ lệ nhất định trong hình bình hành duy trì sự tương đồng, ta áp dụng định lý này để lập tỉ lệ.

### Câu c:
Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A, ta sẽ nhận thấy rằng tích BK.DG vẫn không thay đổi. Điều này có thể được chứng minh bằng việc sử dụng các tỉ số tương ứng hoặc các phương pháp hình học như giữ nguyên tỉ lệ khi thay đổi vị trí mà không làm thay đổi bố cục của hình bình hành.

Nếu cần thêm chi tiết cho từng phần, hãy cho tôi biết!