Để chứng minh rằng \( A = (n + 1)^4 + n + 1 \) chia hết cho một số nguyên dương, chúng ta có thể biến đổi biểu thức này như sau:

1. **Tính toán \( (n + 1)^4 \)**:
\[
(n + 1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1
\]
Do đó, ta có:
\[
A = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 + n + 1 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 5n + 2
\]

2. **Xét \( A \) modulo 4**:
Chúng ta sẽ tính \( A \) với mỗi giá trị của \( n \) modulo 4.

- **Khi \( n \equiv 0 \mod 4 \)**:
\[
A \equiv 0^4 + 0 + 2 \equiv 2 \mod 4
\]

- **Khi \( n \equiv 1 \mod 4 \)**:
\[
A \equiv 1^4 + 1 + 2 \equiv 1 + 1 + 2 \equiv 4 \equiv 0 \mod 4
\]

- **Khi \( n \equiv 2 \mod 4 \)**:
\[
A \equiv 2^4 + 2 + 2 \equiv 16 + 2 + 2 \equiv 20 \equiv 0 \mod 4
\]

- **Khi \( n \equiv 3 \mod 4 \)**:
\[
A \equiv 3^4 + 3 + 2 \equiv 81 + 3 + 2 \equiv 86 \equiv 2 \mod 4
\]

Vậy từ các phép tính này, chúng ta thấy rằng \( A \equiv 0 \mod 4 \) cho \( n \equiv 1 \) và \( n \equiv 2 \). Điều này cho thấy \( A \) có thể chia hết cho 4 cho hầu hết các giá trị của \( n \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh \( A \) chia hết cho 4 đối với phần lớn các giá trị nguyên dương của \( n \).