Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng với C qua D

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định các tọa độ của các điểm trong hình vuông ABCD.

Giả sử:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)

**1. Tính tọa độ của M:**
M là trung điểm của AB. Do đó, tọa độ của M là:
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

**2. Tính tọa độ của N:**
N là điểm đối xứng với C qua D. Tọa độ của C là (a, a) và D là (0, a). Để tìm tọa độ của N, ta cần tính chiều dài và hướng chiều đối xứng từ D đến C. Tọa độ của N sẽ là:
\[
N(0 - (a - 0), a) = (-a, a)
\]

**3. Tính các giá trị trong các đề bài:**

a) \( MD^2 = AD^2 + AM^2 \)

- \( AD = a \) (độ dài cạnh của hình vuông)
- \( AM \) được tính như sau:
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Tính \( MD \):
\[
MD = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}
\]
- Vậy:
\[
MD^2 = AD^2 + AM^2 \Rightarrow \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow \frac{5a^2}{4} = a^2 + \frac{a^2}{4}
\]

b) Tính \( MN \):
- Tính khoảng cách từ M đến N:
\[
MN = \sqrt{\left(-a - \frac{a}{2}\right)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}
\]

c) Tính \( MD \):
Đã tính ở phần a, \( MD = \frac{a\sqrt{5}}{2} \).

d) Tính \( |MN| \):
Đã tính ở phần b, \( |MN| = \frac{a\sqrt{13}}{2} \).

Qua đó, bạn có thể sử dụng các kết quả này để điền vào đáp án cho mỗi phần a, b, c, và d nhé!