Để chứng minh rằng \( \angle A_1 = \angle C \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là điểm vuông.

### Bước 1: Xác định các góc
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), do đó có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Với \( \angle A = 90^\circ \), ta có:
\[
\angle B + \angle C = 90^\circ
\]
Hay \( \angle C = 90^\circ - \angle B \).

### Bước 2: Sử dụng đường cao
- \( AH \) là đường cao hạ vuông góc từ \( A \) đến \( BC \), từ đó chúng ta có:
- \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle AHC = 90^\circ \).

### Bước 3: Chứng minh góc tương ứng
- Ta gọi \( \angle A_1 \) là góc \( AHB \).
- Theo tính chất của các góc trong tam giác:
\[
\angle A_1 + \angle B = 90^\circ
\]
Vậy:
\[
\angle A_1 = 90^\circ - \angle B
\]

- Như đã chỉ ra ở Bước 1, \( \angle C = 90^\circ - \angle B \).

### Kết luận
Do đó:
\[
\angle A_1 = \angle C
\]

Ta đã chứng minh xong rằng \( \angle A_1 = \angle C \).