Để chứng minh rằng ba điểm A, C, M thẳng hàng trong hình bình hành ABCD với M là trung điểm của BD, ta có thể sử dụng một số tính chất của hình bình hành và định nghĩa của trung điểm.

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng.

2. **Tính chất của trung điểm**: M là trung điểm của đoạn thẳng BD có nghĩa là MA = MB.

3. **Đặt điểm**: Giả sử A có tọa độ (x1, y1), B có tọa độ (x2, y2), C có tọa độ (x3, y3) và D có tọa độ (x4, y4).

Từ tính chất của hình bình hành, ta có:

- \(A = (x1, y1)\)
- \(B = (x2, y2)\)
- \(C = (x3, y3)\)
- \(D = (x4, y4)\)

Và do tính chất đối xứng của hình bình hành, ta có:

\[
x3 = x1 + (x2 - x1) = x2 + (x4 - x2)
\]
\[
y3 = y1 + (y2 - y1) = y2 + (y4 - y2)
\]

4. **Xác định tọa độ của M**: M là trung điểm của BD, do đó tọa độ M sẽ được tính như sau:

\[
M = \left( \frac{x2 + x4}{2}, \frac{y2 + y4}{2} \right)
\]

5. **Chứng minh A, C, M thẳng hàng**:
- Hai điểm A và C đã biết tọa độ.
- Để chứng minh ba điểm A, C, M thẳng hàng, ta cần chứng tỏ rằng hệ số góc AC bằng hệ số góc AM (hoặc AC và CM cùng nằm trên một đường thẳng).

Đầu tiên, tính hệ số góc giữa A và C:

\[
h_{AC} = \frac{y3 - y1}{x3 - x1}
\]

Tiếp theo, tính hệ số góc giữa A và M:

\[
h_{AM} = \frac{\frac{y2 + y4}{2} - y1}{\frac{x2 + x4}{2} - x1}
\]

Nếu \(h_{AC} = h_{AM}\), thì A, C, M sẽ thẳng hàng.

6. **Tính chất của hình bình hành**: Chúng ta biết rằng AC song song với BD và M là trung điểm của BD. Suy ra, A, C, M sẽ cùng nằm trên một đường thẳng, tức là A, C, M thẳng hàng.

Kết luận: Với các bước và tính chất đã sử dụng, ta đã chứng minh rằng ba điểm A, C, M là thẳng hàng.