Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành

Bắt đầu từ các thông tin đã cho trong bài toán:

- ABCD là hình bình hành, nghĩa là \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- E là trung điểm của đoạn AD, nghĩa là \( AE = ED \).
- F là trung điểm của đoạn BC, nghĩa là \( BF = FC \).

**Chứng minh BE // DF:**

- Vì AB // CD và E, F là trung điểm của AD và BC, nên:
\[
BE = \frac{1}{2} AB \text{ và } DF = \frac{1}{2} CD
\]
Vì AB // CD nên BE // DF.

**Chứng minh ED // BF:**

- Tương tự, vì AD // BC và E, F là trung điểm của AD và BC, nên:
\[
ED = \frac{1}{2} AD \text{ và } BF = \frac{1}{2} BC
\]
Vì AD // BC nên ED // BF.

**Kết luận:**
Tứ giác BEDF có hai cặp cạnh đối song song (BE // DF và ED // BF) nên theo định nghĩa của hình bình hành, tứ giác BEDF là hình bình hành.

### b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

- Trong hình bình hành, các đường chéo chia nhau thành các đoạn tỷ lệ bằng nhau. Cụ thể:
\[
AO = OC \quad \text{và} \quad BO = OD
\]

Do E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, ta có:
\[
AE = ED \quad \text{và} \quad BF = FC
\]

- Xét tứ giác EFO và điểm O nằm trong tứ giác này. Ta có:
\[
\frac{EO}{OA} = \frac{EO}{OC} \quad (từ tỉ lệ đường chéo)
\]
Với O nằm giữa E và F khi vẽ.

**Chứng minh:**
- Ta chứng minh rằng đoạn EF song song với đoạn AO và đoạn CF nối từ điểm F và đoạn BD nối từ điểm A, B, D tương ứng.
- Do đó, ta có:
\[
\frac{OE}{EF} = \frac{OF}{OE}
\]
Như vậy, ba điểm E, O, F thuộc cùng một đường thẳng.

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta đã chứng minh rằng tứ giác BEDF là hình bình hành và ba điểm E, O, F thẳng hàng.