Để chứng minh bất đẳng thức \( x^2 + y^2 + z^2 > x + y + z \) với \( x, y, z \) là các số dương, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

1. **Mở đầu**: Ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 > x + y + z
\]

với \( x, y, z > 0 \).

2. **Biến đổi bất đẳng thức**:

Ta có thể biến đổi như sau:

\[
x^2 - x + y^2 - y + z^2 - z > 0
\]

3. **Tính từng thành phần**:

Thực hiện tính từng biến:

\[
x^2 - x = x(x - 1)
\]
\[
y^2 - y = y(y - 1)
\]
\[
z^2 - z = z(z - 1)
\]

Do đó, ta có:

\[
x(x - 1) + y(y - 1) + z(z - 1) > 0
\]

4. **Xét trường hợp các biến**:

Với \( x, y, z > 0 \):

- Khi \( x = 1 \) thì \( x(x - 1) = 0 \) nhưng vẫn tồn tại các \( y, z > 0 \) thì \( y^2 - y > 0 \) và \( z^2 - z > 0 \).
- Nếu \( x < 1 \) (như 0.5), ta có \( x(x - 1) < 0 \) nhưng nếu \( y, z > 1 \), thì \( y^2 - y > 0 \) và \( z^2 - z > 0 \) sẽ làm tổng lớn hơn 0.

5. **Kết luận**:

Trong mọi trường hợp, khi \( x, y, z \) là các số dương, ta có:

\[
x(x - 1) + y(y - 1) + z(z - 1) > 0
\]

Vậy nên, điều này dẫn đến:

\[
x^2 + y^2 + z^2 > x + y + z
\]

Suy ra, bất đẳng thức đã được chứng minh.