Để phân tích đa thức \( 15a^2 - 31a + 56a^2 \) thành nhân tử, trước tiên chúng ta cần sắp xếp lại các hạng tử:

\[
15a^2 + 56a - 31a = (15 + 56 - 31)a^2 = 40a^2
\]

Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện phân tích đa thức \( 15 - 31 + 56 = 0 \) về dạng \( (Ax + B)(Cx + D) \).

Để làm đơn giản đi, ta bỏ qua \( a^2 \), ta chỉ cần phân tích \( 15 - 31 + 56 \):

1. **Tìm một cặp số mà tích của chúng bằng \( 15 \times 56 = 840 \) và tổng của chúng bằng \( -31 \).**

Chúng ta thấy rằng \(-21\) và \(40\) là một cặp số phù hợp.

2. **Phân tích:**

Sử dụng cặp số đó, ta sẽ viết được:

\[
15a^2 - 21a + 40a - 56
\]

Rút gọn theo phương pháp nhóm hạng tử:

\[
= 3a(5a - 7) + 8(5a - 7)
\]

3. **Nhóm lại:**

\[
= (3a + 8)(5a - 7)
\]

Vậy, đa thức \( 15a^2 + 56a - 31a \) có thể được phân tích thành nhân tử như sau:

\[
15a^2 - 31a + 56 = (3a + 8)(5a - 7)
\]

Đó là phân tích chính xác của đa thức này.