Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \geq 2,
\]

cho \(a, b, c, d\) là các số dương, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \right) \left( (b+c) + (c+d) + (d+a) + (a+b) \right) \geq (a+b+c+d)^2.
\]

Tính tổng các mẫu số:

\[
(b+c) + (c+d) + (d+a) + (a+b) = 2(a+b+c+d).
\]

Thay vào bất đẳng thức:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \right) \cdot 2(a+b+c+d) \geq (a+b+c+d)^2.
\]

Chia cả hai vế cho \(2(a+b+c+d)\) (vì \(a+b+c+d > 0\)):

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(a+b+c+d)} = \frac{a+b+c+d}{2}.
\]

Bây giờ, từ bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a+b+c+d}{4} \geq 1 \implies a+b+c+d \geq 4.
\]

Kết hợp lại, ta thấy:

\[
\frac{a+b+c+d}{2} \geq 2 \implies \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \geq 2.
\]

Vậy chứng minh đã hoàn thành.