Để giải phương trình \( 3 \cdot 2^{2x+1} + \frac{1}{2} = \frac{49}{2} \), trước tiên chúng ta sẽ làm cho phương trình dễ nhìn hơn.

1. **Đưa các số hạng về cùng một bên:**
\[
3 \cdot 2^{2x+1} = \frac{49}{2} - \frac{1}{2}
\]
\[
3 \cdot 2^{2x+1} = \frac{48}{2} = 24
\]

2. **Chia cả hai bên cho 3:**
\[
2^{2x+1} = \frac{24}{3} = 8
\]

3. **Nhận thấy rằng \( 8 = 2^3 \), chúng ta có thể viết lại phương trình:**
\[
2^{2x+1} = 2^3
\]

4. **So sánh số mũ của hai bên:**
\[
2x + 1 = 3
\]

5. **Giải phương trình này:**
\[
2x = 3 - 1 = 2
\]
\[
x = \frac{2}{2} = 1
\]

Vậy \( x = 1 \).