Cacbon 14 phóng xạ β với chu kỳ bán hủy 5570 năm, cacbon 14 tồn tại dưới dạng khí cacbonic và tham gia vào chu trình biến hóa của cơ thể sống. Trong cơ thể sống (cây cối) nồng độ của cacbon 14 không đổi

Bài toán này yêu cầu xác định tuổi của mẫu gỗ dựa vào sự giảm nồng độ của cacbon-14 sau khi mẫu gỗ đã ngừng hấp thụ cacbon trong môi trường. Để giải quyết bài toán, ta sẽ sử dụng công thức về sự phân rã phóng xạ.

1. **Thông tin đã cho**:
- Chu kỳ bán hủy của cacbon-14 (t) = 5570 năm.
- Nồng độ phóng xạ ban đầu (N0) = 1350 phân rã/phút.
- Nồng độ phóng xạ hiện tại (N) = 197 phân rã/phút.

2. **Công thức phân rã**:
\[
N = N_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
\]
Trong đó:
- \( N \): Nồng độ phóng xạ hiện tại.
- \( N_0 \): Nồng độ phóng xạ ban đầu.
- \( T_{1/2} \): Chu kỳ bán hủy.
- \( t \): Thời gian đã trôi qua.

3. **Thay số vào công thức**:
\[
197 = 1350 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5570}}
\]

4. **Chia cả hai vế cho 1350**:
\[
\frac{197}{1350} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5570}}
\]

5. **Tính toán giá trị phía bên trái**:
\[
\frac{197}{1350} \approx 0.1459
\]

6. **Lấy log hai vế**:
\[
\log(0.1459) = \frac{t}{5570} \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)
\]

7. **Giải phương trình để tìm t**:
\[
t = \frac{\log(0.1459)}{\log(0.5)} \cdot 5570
\]

8. **Tính toán**:
\[
\log(0.1459) \approx -0.836
\]
\[
\log(0.5) \approx -0.301
\]
\[
\frac{-0.836}{-0.301} \approx 2.78
\]
\[
t \approx 2.78 \cdot 5570 \approx 15409.6 \text{ năm}
\]

Kết luận: Tuổi của mẫu gỗ là khoảng **15410 năm**.