Để chứng minh Q luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n, ta sẽ xét biểu thức:

\[
Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3
\]

Bước 1: Mở rộng từng phần trong biểu thức.

1. Mở rộng \((2n - 1)(2n + 3)\):
\[
= 2n \cdot 2n + 2n \cdot 3 - 1 \cdot 2n - 1 \cdot 3
= 4n^2 + 6n - 2n - 3
= 4n^2 + 4n - 3
\]

2. Mở rộng \((4n - 5)(n + 1)\):
\[
= 4n \cdot n + 4n \cdot 1 - 5 \cdot n - 5 \cdot 1
= 4n^2 + 4n - 5n - 5
= 4n^2 - n - 5
\]

Bước 2: Thay vào biểu thức Q:

\[
Q = (4n^2 + 4n - 3) - (4n^2 - n - 5) + 3
\]

Bước 3: Tính Q:

\[
Q = 4n^2 + 4n - 3 - 4n^2 + n + 5 + 3
\]

Khi rút gọn, ta có:

\[
Q = (4n^2 - 4n^2) + (4n + n) + (-3 + 5 + 3)
= 5n + 5
\]

Bước 4: Chia Q cho 5:

\[
Q = 5(n + 1)
\]

Kết luận: Vì \(n + 1\) là một số nguyên nên \(Q\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(n\).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(Q\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(n\).