Để giải bài toán, ta cần sử dụng các tỉ lệ trong tam giác.

1. **Tính tỉ lệ của các đoạn thẳng**:
- Gọi \( BC = x \), khi đó \( BD = \frac{3}{4}x \) và \( DC = \frac{1}{4}x \).
- Từ đó, có thể tính được tỉ lệ:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{\frac{3}{4}x}{\frac{1}{4}x} = 3
\]

2. **Tính tỉ lệ của điểm E trên AD**:
- Gọi tỉ lệ \( \frac{AE}{ED} = k \). Theo điều kiện đề bài, \( AE = \frac{2}{5}AD \), do đó \( ED = AD - AE = AD - \frac{2}{5}AD = \frac{3}{5}AD \).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AE}{ED} = \frac{\frac{2}{5}AD}{\frac{3}{5}AD} = \frac{2}{3}
\]

3. **Tính tỉ lệ \( \frac{AK}{KC} \)**:
- Gọi \( AB = m \), \( AC = n \), theo định lý Thales ta có:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{AE}{ED} \cdot \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2
\]

Cuối cùng, tỉ số \( \frac{AK}{KC} = 2 \).