Để tìm dư khi chia đa thức \( f(x) \) cho \( x^3 + 2x^2 + 2x + 4 \), trước hết ta cần hiểu rằng khi ta chia một đa thức cấp \( n \) cho một đa thức cấp \( m \), với \( n < m \), thì dư sẽ là chính đa thức \( f(x) \).

Ở đây, ta có \( x^3 + 2x^2 + 2x + 4 \) có cấp 3. Do đó, \( f(x) \) phải có cấp từ 3 trở lên. Từ đề bài, ta không có biểu thức cụ thể cho \( f(x) \), tuy nhiên ta biết rằng \( f(x) \) chia cho \( x^2 + 2 \) dư \( 3x + 28 \).

Vì đa thức \( f(x) \) chia cho \( x^2 + 2 \) dư \( 3x + 28 \), ta có thể viết lại \( f(x) \) dưới dạng:

\[
f(x) = (x^2 + 2) Q(x) + (3x + 28)
\]

với \( Q(x) \) là một đa thức nào đó.

Tiếp tục, để tìm dư khi chia \( f(x) \) cho \( x^3 + 2x^2 + 2x + 4 \), ta có thể thay thế \( f(x) \) vào biểu thức trên. Đặt \( P(x) = x^2 + 2 \) và \( D(x) = x^3 + 2x^2 + 2x + 4 \).

Ta thực hiện chia \( f(x) \) cho \( D(x) \):

1. Lấy đồ thị hoặc sử dụng phương pháp phân tích đa thức để tìm nghiệm của \( D(x) \) nếu cần, hoặc dùng phương pháp thử nghiệm.
2. Thay giá trị vào \( f(x) \) để tìm giá trị cho mỗi nghiệm của \( D(x) \).
3. Tìm hệ số cho \( Q(x) \) và xác định phần dư.

Cuối cùng, ta tìm ra được giá trị của phần dư khi chia \( f(x) \) cho \( D(x) \).

Nhưng vì không có thông tin cụ thể về \( f(x) \), chúng ta cần biết chính xác \( f(x) \) để thực hiện bước tiếp theo. Nếu bạn có thông tin thêm về \( f(x) \), hãy cung cấp để tôi có thể giúp đỡ bạn rõ ràng hơn!