Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ phân tích từng điểm một:

### Phần a: Chứng minh \( MN = AK \) và \( I \) là trung điểm của \( AK \)

1. **Định nghĩa các điểm**:
- \( M \) và \( N \) là giao điểm của đường phân giác và cạnh tương ứng.
- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).
- \( A \) là góc vuông tại \( A \).

2. **Trong tam giác vuông \( ABC \)**:
- Ta có thể áp dụng định lý đường phân giác vào các tam giác \( ABH \) và \( ACH \).
- Khi \( AH \) là đường cao, ta có các tỉ số liên quan đến các cạnh của tam giác.

3. **Chứng minh \( MN = AK \)**:
- Do \( I \) là trung điểm của \( MN \) nên \( MI = IN \).
- Xét tam giác \( AKI \), ta có các đoạn \( AI \) và \( AK \) tạo thành các cạnh tương ứng.

4. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường phân giác**:
- Cách sử dụng các tỉ số trong tam giác vuông cần thiết.
- Sử dụng tính chất trung điểm để chứng minh rằng \( AK = MN \).

### Phần b: Chứng minh tam giác \( MAN \) là tam giác vuông

1. **Tam giác \( MAN \)**:
- Ta cần tìm mối liên hệ giữa các góc trong tam giác này.
- Sử dụng định lý về góc vuông, ta sẽ chứng minh rằng \( \angle MAN = 90^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất của đường phân giác**:
- Từ việc \( HN \) là đường phân giác, ta có thể thiết lập rằng \( \angle AHB = \angle AHC \).
- Do \( A \) là góc vuông trong tam giác \( ABC \), ta có thể kết luận về sự vuông góc tại \( M, A, N \).

3. **Hoàn thành**:
- Kết hợp với các tính chất của tam giác vuông, ta thấy rằng \( MA \) vuông góc với \( AN \).

Kết luận: Cả hai phần đều hoàn thành dựa trên các tính chất của tam giác vuông và các đường đặc biệt (đường cao, đường phân giác).