Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh AP = AQ

1. **Định nghĩa và tính chất đối xứng**:
- H là chân đường cao từ A xuống BC, nghĩa là H thuộc đường thẳng BC.
- P và Q là đối xứng của H qua đường thẳng AB và AC, có nghĩa là AP vuông góc với AB và AH vuông góc với AC.

2. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Theo tính chất đối xứng, ta có: khoảng cách AP = khoảng cách AQ vì H nằm giữa AB và AC, và P, Q đối xứng nhau qua AH.

### b) Chọn BAC = 60°, tính số đo góc PAQ

1. **Xác định góc PAQ**:
- Góc PAQ sẽ được tính bằng tổng của hai góc mà PA và QA tạo với mặt phẳng.
- Ta có: PA vuông góc với AB và AQ vuông góc với AC.

2. **Sử dụng tính chất của tam giác**:
- Tam giác ABH và ACH là các tam giác vuông.
- Nếu góc BAC = 60°, ta có:
\[
PAQ = 180° - (BAH + CAK) = 180° - (90° - 30° + 90° - 30°) = 60°.
\]

### c) Chứng minh APH = AHK và AQR = AHQ

1. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Tam giác APH vuông tại P và AHK vuông tại H, với đáy AH chung.
- Do đó, cặp góc tại A là bằng nhau: APH = AHK = 90°.

### d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC.

1. **Chứng minh HA là tia phân giác của IHK**:
- Theo tính chất đường cao và đối xứng, HA sẽ cắt góc tạo ra hai hình chữ nhật bằng nhau.
- Sử dụng định lý về tia phân giác:
- Ta có: góc AHI = góc AKH, từ đó suy ra HA là tia phân giác của góc IHK.

### Kết luận

Đã hoàn thành tất cả các phần chứng minh theo yêu cầu. Nếu cần thêm chi tiết ở từng phần, hãy cho biết nhé!