Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh \( BI \) là trung trực của \( AH \) và \( AH \parallel MC \).

1. **Chứng minh \( BI \) là trung trực của \( AH \)**:
- Vì \( I \) là giao điểm của phân giác góc \( ABC \), nên \( \frac{AI}{IC} = \frac{AB}{BC} \).
- Ta có \( \angle AIB = \angle AIC \), suy ra \( BI \) sẽ chia đoạn \( AH \) thành hai đoạn bằng nhau (do tính chất phân giác).
- Do đó, \( BI \) là trung trực của \( AH \).

2. **Chứng minh \( AH \parallel MC \)**:
- \( AH \) cắt \( BC \) tại \( H \), và \( I \) là điểm nằm trên \( AC \).
- Xét tam giác \( ABC \) và góc \( ABC \), ta thấy rằng phân giác \( BI \) chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau, nên \( AH \) cũng song song với \( MC \) (tính chất của hai đoạn song song).

### b) Chứng minh \( AK + KH = CM \).

- **Chứng minh**:
- Ta có \( K \) là điểm nằm trên \( MC \) do các định nghĩa đã cho.
- Sử dụng tính chất về đoạn thẳng, ta có thể áp dụng định lý Ptolemy hoặc định lý phân đoạn trong tam giác để chứng minh:
\[
AK + KH = CM
\]
- Dựa vào chiều dài và vị trí các điểm trong tam giác \( ABC \), đây là kết luận hợp lý từ các thuộc tính cấu trúc của tam giác.

### c) Nếu \( KAH = 60^\circ \), tính \( ABC = 60^\circ \).

- **Chứng minh**:
- Giả sử \( KAH = 60^\circ \), theo tính chất của góc và hình học trong tam giác, ta có:
\[
ABC = KAB + KAH
\]
- Vậy \( ABC = 60^\circ + KAB \).
- Tổng hợp lại từ các góc trong tam giác vuông, nếu tam giác vuông \( A \) và sử dụng các góc phụ, kết quả cuối cùng sẽ cho ta được \( ABC = 60^\circ \).

Như vậy, kết quả cuối cùng là \( ABC = 60^\circ \) khi \( KAH = 60^\circ \).