Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân.

1. **Vẽ hình và xác định các điểm:**
- Vẽ hình thang cân ABCD với AB // CD (AB là đáy lớn và CD là đáy nhỏ).
- Gọi O là giao điểm của AC và BD.

2. **Xác định góc:**
- Vì BDC = 45 độ, nên trong tam giác BDC, ta có:
- Góc BDC = 45 độ và góc DBC cũng 45 độ (do ABCD là hình thang cân, các góc B và C đối xứng nhau).
- Từ đó, góc DBO = 22.5 độ và góc CBO = 22.5 độ.

3. **Xác định tam giác DOC:**
- Trong tam giác DOC, có:
- Góc COD = 90 độ (bởi vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình thang cân).

4. **Tính tính chất hình học:**
- Từ điều kiện trên, ta nhận thấy các góc trong tam giác DOC:
- Góc DCO = 45 độ (từ hình thang cân).
- Do đó, góc DOC = 180 - (90 + 45) = 45 độ.

5. **Kết luận:**
- Trong tam giác DOC, ta có:
- Góc DOC = 90 độ.
- Góc DCO = Góc ODC = 45 độ.
- Vậy: tam giác DOC vuông cân (có 2 góc 45 độ).

### b) Tính diện tích của hình thang ABCD, biết BD = 6 (cm).

1. **Tìm kích thước các cạnh:**
- Trong tam giác BDC vuông tại D và BDC = 45 độ, theo định lý Pitago:
- BD = DC = 6 cm. (do tam giác BDC là tam giác vuông cân)

2. **Tính chiều cao:**
- Chiều cao của hình thang ABCD (từ điểm C hoặc D vuông góc với hai đáy) là chiều cao từ B tới cạnh CD. Để tính chiều cao này, chúng ta có thể sử dụng tam giác con với góc 45 độ:
- \( h = BD \cdot \sin(45) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) cm.

3. **Tính độ dài hai đáy:**
- Ta có một hình thang cân nên:
- AB = CD + BC + DA = CD + 2 * DC.

4. **Tính diện tích:**
- Diện tích \( S \) của hình thang cân được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
- Ta có,
\[
AB = CD + 2 \cdot DC = CD + 12cm.
\]
- Mà CD = 6 cm, do đó:
\[
AB = 6 + 12 = 18 cm.
\]
- Thay vào công thức:
\[
S = \frac{(18 + 6) \cdot 3\sqrt{2}}{2} = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \text{ cm}^2.
\]

### Kết luận:
- a) Tam giác DOC vuông cân.
- b) Diện tích của hình thang ABCD là \( 36\sqrt{2} \text{ cm}^2 \).