Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = x ^ 2 + 4y ^ 2 - 4xy + 2x - 4y + 52

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 52 \), và các câu hỏi khác, chúng ta sẽ sử dụng các công thức tối ưu hóa và định lý đạo hàm.

**1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức**:

Biểu thức \( F \) có dạng tổng hợp các bậc hai. Để tìm cực trị, chúng ta cần lấy đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), và đặt chúng bằng 0.

Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial F}{\partial x} = 2x - 4y + 2
\]

Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial F}{\partial y} = 8y - 4x - 4
\]

Giải hệ phương trình:
1. \( 2x - 4y + 2 = 0 \) (1)
2. \( 8y - 4x - 4 = 0 \) (2)

Từ (1), ta có:
\[
2x = 4y - 2 \implies x = 2y - 1
\]

Thay vào (2):
\[
8y - 4(2y - 1) - 4 = 0 \\
8y - 8y + 4 - 4 = 0 \text{ (đúng)}
\]

Do đó, (1) không giúp ích nhiều ở đây. Để tìm giá trị cực tiểu, ta có thể viết lại \( F \).

Xét \( F \) như sau:
\[
F = (x - 2y + 1)^2 + 3y^2 + 50
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( (x - 2y + 1)^2 \) là 0, và \( 3y^2 \) cũng không nhỏ hơn 0.

Khi \( y = 0 \) và \( x = 1 \), ta có giá trị:

\[
F_{min} = 0 + 0 + 50 = 50
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( F \) là 50.

**2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức**:

a) Tìm giá trị lớn nhất của \( -4x^2 - 18x - 9 \):
Đây là một hàm bậc hai nên giá trị lớn nhất là tại đỉnh:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-18}{2 \times -4} = \frac{18}{8} = -\frac{9}{4}
\]

Thay vào hàm để tính giá trị:
\[
F(-\frac{9}{4}) = -4(-\frac{9}{4})^2 - 18(-\frac{9}{4}) - 9
\]
Tính ta có giá trị lớn nhất là \(-\frac{81}{4} + \frac{162}{4} - 9 = -\frac{81}{4} + \frac{162 - 36}{4} = -\frac{81 - 126}{4} = \frac{45}{4}.\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của \( 291 - 16x^2 + 40x \):
Đỉnh đạt tại:
\[
x = -\frac{40}{-32} = \frac{5}{4}
\]

Thay vào:
\[
F(\frac{5}{4}) = 291 - 16(\frac{5}{4})^2 + 40(\frac{5}{4})
\]
Tính toán biểu thức này.

c) Tìm giá trị lớn nhất của \( 40x - 25x^2 + 15 \):
Tương tự như trên với định vị đỉnh.

d) Biểu thức này sẽ không dễ vì có \( y \) và phải lấy đạo hàm riêng cho cả \( x \) và \( y \).

e) Với \( x + y - x^2 - y^2 + 1 \), ta xét tương tự.

Tùy vào yêu cầu, bạn có thể làm từng bước tính toán chi tiết cho từng ví dụ. Nếu cần tính chi tiết hơn về bất kỳ biểu thức nào, mình sẵn lòng hỗ trợ!