Chứng minh: A = 4+2^2+2^3+2^4+...+2^21 là số chính phương

Để chứng minh \( A = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21} \) là số chính phương, trước hết, chúng ta sẽ tính giá trị của \( A \).

Nhận thấy rằng \( 4 = 2^2 \), ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[
A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21} = 2^2 + (2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21})
\]

Phần bên trong dấu ngoặc là một cấp số nhân. Để tính tổng của cấp số này, chúng ta có:

\[
S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21}
\]

Cấp số nhân này có số hạng đầu là \( 2^2 \) và số hạng cuối là \( 2^{21} \). Số lượng số hạng là \( 21 - 2 + 1 = 20 \) hạng. Ta sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân, với công thức:

\[
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

với \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là tỷ số chung, và \( n \) là số hạng.

Ở đây:
- \( a = 2^2 \),
- \( r = 2 \),
- \( n = 20 \).

Áp dụng công thức, ta có:

\[
S = 2^2 \cdot \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 4 \cdot (2^{20} - 1) = 4 \cdot 2^{20} - 4
\]

Nhưng từ phần định nghĩa của \( A \):

\[
A = 2^2 + S = 4 + (4 \cdot 2^{20} - 4) = 4 \cdot 2^{20}
\]

Bây giờ ta có:

\[
A = 4 \cdot 2^{20} = (2 \cdot 2^{10})^2 = (2^{11})^2
\]

Vậy \( A = (2^{11})^2 \), và cho thấy rằng \( A \) là một số chính phương.

Kết luận, \( A = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{21} \) là số chính phương.