Để giải bất phương trình

\[
\frac{x - 3\sqrt{x} + 10}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{(\sqrt{x} + 1)x - 3\sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} < 0,
\]

ta cần thực hiện các bước phân tích sau:

1. **Thay đổi biến số**: Đặt \( t = \sqrt{x} \), nghĩa là \( x = t^2 \). Bất phương trình trở thành:

\[
\frac{t^2 - 3t + 10}{t - 1} \cdot \frac{(t + 1)t^2 - 3t + 10}{(t - 1)(t + 1)} < 0.
\]

2. **Xét các yếu tố**: Chúng ta cần xác định các điểm mà tử số và mẫu số bằng 0.

- **Điểm làm tử số bằng 0**:

Giải phương trình:

\[
t^2 - 3t + 10 = 0.
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31 < 0 \Rightarrow t^2 - 3t + 10 \neq 0 \text{ với mọi } t.
\]

- **Điểm làm mẫu số bằng 0**:

Giải \( t - 1 = 0 \) và \( t + 1 = 0 \):

\[
t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1,
\]
\[
t + 1 = 0 \Rightarrow t = -1.
\]

Chỉ có \( t = 1 \) nằm trong miền xác định (tương ứng với \( \sqrt{x} \geq 0\)).

3. **Xét dấu của các yếu tố**:

Vì tử số không bao giờ bằng 0, ta chỉ cần xét dấu của mẫu số. Mẫu số là:

\[
(t - 1)(t + 1).
\]

Khi \( t < -1 \), \( (t - 1)(t + 1) > 0 \).

Khi \( -1 < t < 1 \), \( (t - 1)(t + 1) < 0 \).

Khi \( t > 1 \), \( (t - 1)(t + 1) > 0 \).

4. **Kết luận**:

Bất phương trình có dạng:

\[
\text{Mẫu số } < 0 \Rightarrow t \in (-1, 1).
\]

Áp dụng lại biến ban đầu:

\[
-1 < \sqrt{x} < 1 \Rightarrow 0 \leq x < 1.
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

\[
x \in [0, 1).
\]