Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4 \\
\frac{1}{x} + 2\frac{1}{y} = \frac{10}{3}
\end{cases}
\]

Ta đặt:

\[
\frac{1}{x} = a, \quad \frac{1}{y} = b
\]

Như vậy, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
a + b = 4 \quad (1)\\
a + 2b = \frac{10}{3} \quad (2)
\end{cases}
\]

Bây giờ ta có thể giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình (1), ta có \( b = 4 - a \).
2. Thay giá trị của \( b \) vào phương trình (2):

\[
a + 2(4 - a) = \frac{10}{3}
\]

3. Giải phương trình này:

\[
a + 8 - 2a = \frac{10}{3} \\
- a + 8 = \frac{10}{3} \\
- a = \frac{10}{3} - 8 \\
- a = \frac{10}{3} - \frac{24}{3} \\
- a = -\frac{14}{3} \\
a = \frac{14}{3}
\]

4. Từ (1), thay \( a \) vào để tìm \( b \):

\[
\frac{14}{3} + b = 4 \\
b = 4 - \frac{14}{3} \\
b = \frac{12}{3} - \frac{14}{3} \\
b = -\frac{2}{3}
\]

Vậy:

\[
a = \frac{14}{3}, \quad b = -\frac{2}{3}
\]

5. Cuối cùng, quay lại với \( x \) và \( y \):

\[
\frac{1}{x} = a = \frac{14}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{14} \\
\frac{1}{y} = b = -\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x = \frac{3}{14} \\
y = -\frac{3}{2}
\end{cases}
\]