Để hàm số

\[
y = x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 2
\]

để điều này cũng thỏa mãn điều kiện "định biến trên \( \mathbb{R} \)", ta cần đảm bảo rằng đa thức này không có nghiệm thực. Điều này thường liên quan đến việc kiểm tra tính khả phân của đồ thị hàm số.

### Bước 1: Tính đạo hàm đầu tiên
Đạo hàm của hàm số là:

\[
y' = 3x^2 + 2(m+1)x + 3
\]

### Bước 2: Tính nghiệm của đạo hàm
Để hàm số đi lên hoặc đi xuống liên tục (không có điểm cực trị), ta cần kiểm tra discriminant (định thức) của đa thức bậc hai \(y'\):

\[
D = b^2 - 4ac = (2(m+1))^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4(m+1)^2 - 36
\]

### Bước 3: Điều kiện \(D < 0\)
Để hàm không có cực trị, ta yêu cầu:

\[
4(m+1)^2 - 36 < 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
4(m+1)^2 < 36
\]
\[
(m+1)^2 < 9
\]

Lấy căn ở cả hai vế:

\[
-\sqrt{9} < m + 1 < \sqrt{9}
\]
\[
-3 < m + 1 < 3
\]

### Bước 4: Đưa về điều kiện cho \(m\)
Giải cho \(m\):

\[
-4 < m < 2
\]

### Kết luận
Hàm số \(y\) sẽ định biến trên \(\mathbb{R}\) khi:

\[
m \in (-4, 2)
\]