Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a) DME^=90°
b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.
Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.
Suy ra OD // O’E nên BOD^=AO'E^ (hai góc đồng vị). (1)
Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên OBD^=ODB^
Mà OBD^+ODB^+BOD^=180° nên ODB^=OBD^=180°-BOD^2 (2)
Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có O'AE^=O'EA^=180°-AO'E^2 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra OBD^=O'EA^ (4)
Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên O'CE^=O'EC^ (5)
Mà O'EA^+O'EC^=AEC^=90°
Từ (4), (5) và (6) suy ra OBD^+O'CE^=90° hay CBM^+BCM^=90°
Ta lại có CBM^+BMC^+BCM^=180° (tổng ba góc của tam giác BCM)
Do đó BMC^=180°-(CBM^+BCM^)=180°-90°=90° hay DME^=90°
b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra DO=12AB nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.
Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.
Xét tứ giác ADME có DME^=ADM^=AEM^=90° nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.
Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên IA=IM=12AM=12DE=ID=IE
Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung
Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).
Suy ra OAI^=ODI^=90° hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).
Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).
c) Ta có MED^+AED^=AEM^=90° và O'EA^+AED^=O'ED^=90° nên O'EA^=MED^
Lại có OBD^=O'EA^ (chứng minh ở câu a) nên OBD^=MED^ hay MBC^=MED^
Xét ∆BCM và ∆EDM có: BMC^ là góc chung vàMBC^=MED^
Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên MBME=MCMD
Suy ra MD . MB = ME . MC.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |