LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: a) DME^=90° b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC.

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) DME^=90°

b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);

c) MD.MB = ME.MC.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
19
0
0
Tôi yêu Việt Nam
11/09 15:52:48

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.

Suy ra OD // O’E nên BOD^=AO'E^   (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên OBD^=ODB^

Mà OBD^+ODB^+BOD^=180°  nên ODB^=OBD^=180°-BOD^2  (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có O'AE^=O'EA^=180°-AO'E^2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  OBD^=O'EA^ (4)

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên O'CE^=O'EC^ (5)

Mà  O'EA^+O'EC^=AEC^=90°

Từ (4), (5) và (6) suy ra OBD^+O'CE^=90°  hay CBM^+BCM^=90°

Ta lại có CBM^+BMC^+BCM^=180°  (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó BMC^=180°-(CBM^+BCM^)=180°-90°=90°  hay DME^=90°

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra DO=12AB  nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.

Xét tứ giác ADME có DME^=ADM^=AEM^=90°  nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên IA=IM=12AM=12DE=ID=IE

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra OAI^=ODI^=90°  hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có MED^+AED^=AEM^=90°  và O'EA^+AED^=O'ED^=90°  nên O'EA^=MED^

Lại có OBD^=O'EA^  (chứng minh ở câu a) nên OBD^=MED^  hay MBC^=MED^

Xét ∆BCM và ∆EDM có: BMC^  là góc chung vàMBC^=MED^

Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên  MBME=MCMD

Suy ra MD . MB = ME . MC.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư