Để chứng minh các tính chất của tứ giác và các điểm trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AHED là hình chữ nhật.

1. **Xét hai hình chiếu:** Theo định nghĩa, H là hình chiếu của điểm E trên cạnh AB, điều này có nghĩa là đường thẳng EH vuông góc với đường thẳng AB. Tương tự, D là hình chiếu của E trên AC, do đó ED vuông góc với AC.

2. **Xét góc giữa các cạnh:** Tam giác ABC vuông tại A, cho nên:
- Góc AHB = 90 độ (do EH vuông góc với AB).
- Góc ADC = 90 độ (do ED vuông góc với AC).

3. **Tính chất của hình chữ nhật:** Do các góc AHB và ADC đều bằng 90 độ, đồng thời các cạnh EH và ED là đường vuông góc, nên AHED thỏa mãn:
- EH // AD và EH = AD (còn D và H đều là hình chiếu liên kết với đường thẳng AB và AC).
- ED // HA và ED = HA.

Vậy tứ giác AHED là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AHDF là hình bình hành.

1. **Xét các điểm G và F:**
- Chọn điểm G trên tia đối của HE sao cho HE = HG. Như vậy, HG = HE.
- Chọn điểm F trên tia đối của DE sao cho DE = DF, có nghĩa là DF = DE.

2. **Xét các cạnh:**
- Ta có HE = HG và DE = DF.
- Do H là điểm trên đường thẳng AB, và D là hình chiếu trên AC, ta cũng ghi nhận rằng HA // DF và HD // EF.

3. **Lập luận về hình bình hành:**
- Xét tứ giác AHDF, ta có:
- AH = DF (vì AH là chiều dài của hình chữ nhật AHED, mà ED = DF).
- HF = AD (cũng với tính chất hình chữ nhật).

Từ đó, ta có cả 2 cặp cạnh đối diện AH và DF, HF và AD đều bằng nhau và song song tương ứng.

Vậy tứ giác AHDF là hình bình hành.

### c) Chứng minh G, A, F thẳng hàng.

1. **Xét tỉ lệ giữa các đoạn thẳng:**
- Ta có HE // DF và HG = HE theo cách chọn điểm G.
- Tương tự, DE // HA và DF = DE theo cách chọn điểm F.

2. **Áp dụng Định lý:**
- Trong góc của 2 đường thẳng song song, có thể thấy G và F là điểm thỏa mãn các điều kiện trên và cách chọn đều hướng về A.

3. **Kết quả:**
- Vì A là giao điểm của đoạn thẳng HE và DF được kéo dài, do đó GAF là 1 đường thẳng.

Cuối cùng, ta chứng minh được rằng G, A, F thẳng hàng.

### Kết bài.

Như vậy, các chứng minh đã hoàn thành cho từng phần của bài tập, xác nhận rằng tứ giác AHED là hình chữ nhật, tứ giác AHDF là hình bình hành và các điểm G, A, F thẳng hàng.