a) Xét tứ giác ADHE có AD // EH và DH // AE

Suy ra ADHE là hình bình hành

Mà \(\widehat {DA{\rm{E}}} = 90^\circ \)

Suy ra ADHF là hình chữ nhật.

b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có:

BC² = AB² + AC²

Thay số: BC² = 6² + 8² = 100

Suy ra BC = 10

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH . BC = AB . AC

Thay số: AH . 10 = 6 . 8

Suy ra AH = 4,8

Vì tam giác ABH vuông tại H, theo định lý Pytago ta có

AB² = AH² + HB²

Thay số: 6² = 4,8² + HB²

Suy ra BH = 3,6

Vì tam giác BHD vuông tại D có DM là trung tuyến

Suy ra \[DM = MH = \frac{1}{2}BH = \frac{1}{2}.3,6 = 1,8\]

Ta có CH = BC – BH = 10 – 4,8 = 5,2.

Vì tam giác CHE vuông tại E có EN là trung tuyến

Suy ra \[EN = NH = \frac{1}{2}CH = \frac{1}{2}.5,2 = 2,6\].

Ta có DM + EN = 1,8 + 2,6 = 4,4 (cm)

c) Gọi O là giao điểm của AH và DE.

Vì ADHE là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AH, DE và AH = DE.

Suy ra OA = OD = OE = OH

Do đó tam giác OHD cân tại O

Suy ra \(\widehat {O{\rm{D}}H} = \widehat {OH{\rm{D}}}\)

Vì DM = MH (chứng minh câu b) nên tam giác DMH cân tại M

Suy ra \(\widehat {{\rm{MD}}H} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

Ta có \(\widehat {MHD} + \widehat {OH{\rm{D}}} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {O{\rm{D}}H} = \widehat {OH{\rm{D}}}\), \(\widehat {{\rm{MD}}H} = \widehat {MH{\rm{D}}}\)

Suy ra \(\widehat {MDH} + \widehat {O{\rm{DH}}} = \widehat {M{\rm{D}}O} = 90^\circ \)

Do đó DM ⊥ DO                      (1)

Vì OE = OH

Do đó tam giác OEH cân tại O

Suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\)

Vì HN = EN (chứng minh câu b) nên tam giác ENH cân tại N

Suy ra \(\widehat {{\rm{NE}}H} = \widehat {NHE}\)

Ta có \(\widehat {OHE} + \widehat {EHN} = \widehat {AHN} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\), \(\widehat {{\rm{NE}}H} = \widehat {NHE}\)

Suy ra \(\widehat {OEH} + \widehat {OEN} = \widehat {OEN} = 90^\circ \)

Do đó EN ⊥ EO                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM // EN

Vậy DENM là hình thang.