Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BK thuộc AC bằng H, góc ở đáy bằng alpha

Để chứng minh công thức diện tích của tam giác ABC cân tại A, với độ cao BK thuộc AC, chúng ta sẽ bắt đầu từ các thông tin đã cho:

- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là AB = AC.
- BK là đường cao từ B và H là độ dài của BK.
- Góc ở đáy là α, tức là góc ABC = góc ACB = α.

Diện tích của tam giác ABC có thể được tính theo công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

với "a" là độ dài cạnh đáy BC và "h" là độ cao BK.

Bây giờ, chúng ta cần xác định độ dài cạnh BC (a) và liên hệ giữa nó với độ cao BK (h) và góc α.

### Bước 1: Tính độ dài cạnh BC

Trong tam giác cân ABC, chúng ta gọi AB = AC = c. Do đó, chúng ta có thể xây dựng tam giác vuông BKA với:
- AK là nửa cạnh đáy BC, tức là AK = \(\frac{a}{2}\).
- BK là độ cao h.

Áp dụng định nghĩa về sin và cos trong tam giác vuông:

\[
sin(\alpha) = \frac{BK}{AB} = \frac{h}{c} \Rightarrow c = \frac{h}{sin(\alpha)}
\]

Và với góc tại A:

\[
cos(\alpha) = \frac{AK}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{c} \Rightarrow AK = c \cdot cos(\alpha) = \frac{h}{sin(\alpha)} \cdot cos(\alpha)
\]

### Bước 2: Tính độ dài a

Từ AK, chúng ta tìm được BC:

\[
AK = \frac{h \cdot cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \Rightarrow a = 2 \cdot AK = 2 \cdot \frac{h \cdot cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{2h \cdot cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = 2h \cdot cot(\alpha)
\]

### Bước 3: Tính diện tích S_{ABC}

Thay vào công thức diện tích, ta có:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(2h \cdot cot(\alpha)\right) \cdot h = h^2 \cdot cot(\alpha)
\]

### Bước 4: Kết nối cot với sin và cos

Hơn nữa, \(cot(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}\), cho phép chúng ta viết lại thành:

\[
S_{ABC} = h^2 \cdot \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{h^2}{4} \cdot \frac{2 \cdot cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{h^2}{4} \cdot (2 \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha))
\]

Cuối cùng, sử dụng công thức \(2sin(\alpha)cos(\alpha) = sin(2\alpha)\):

\[
S_{ABC} = \frac{h^2}{4} \cdot sin(2\alpha)
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được công thức cho diện tích tam giác ABC:

\[
S_{ABC} = \frac{h^2}{4 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)}
\]

Hy vọng rằng hướng dẫn này đã giúp bạn hiểu rõ về việc chứng minh công thức diện tích tam giác.