a) Xét ∆O’AM cân tại O’ (do O’A = O’M) nên \(\widehat {O'AM} = \widehat {O\prime MA}.\)

Xét ∆OAN cân tại O (do OA = ON) nên \(\widehat {OAN} = \widehat {ANO}.\)

Do đó \(\widehat {O\prime MA} = \widehat {ONA},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra O’M // ON.

b) Do BC là tiếp tuyến của (O’) nên O’M ⊥ BC.

Mà O’M // ON nên ON ⊥ BC.

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên đường cao ON đồng thời là đường phân giác của tam giác, hay \[\widehat {BON} = \widehat {CON},\] do đó  hay N là điểm chính giữa cung BC.

Mặt khác  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NC của đường tròn (O)) và  (góc nội tiếp chắn cung BN của đường tròn (O))

Do đó \(\widehat {BDN} = \widehat {NAC} = \widehat {EAF}.\) (1)

Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, ta có:

\(\widehat {EAF} = \widehat {EDF} = \widehat {BDF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EF). (2)

Từ (1), (2) ta có \(\widehat {BDF} = \widehat {BDN},\) suy ra D, N, F thẳng hàng.

c) Ta có hai cung BN và NC có số đo bằng nhau, suy ra \(\widehat {BDN} = \widehat {NDC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay DF là tia phân giác của \(\widehat {BDC}.\)