Người ta cho một vòi nước nóng ở 80°C và một vòi nước lạnh ở 20°C đồng thời chảy vào bệ đã có sẵn 20 kg nước ở nhiệt độ 30°C. Bệ có thể chứa tối đa 500 kg nước. Biết mỗi phút có 2 kg nước từ vòi chảy vào bệ. Bố qua sự trao đổi nhiệt của nước với không khí và bể chứa, khi bể đầy nước thì tắt các vòi

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu từ a đến d.

### a. Chứng minh nhiệt độ nước trong bể tăng dần theo thời gian

Dễ nhận thấy rằng khi nước nóng và nước lạnh chảy vào bể, nước trong bể sẽ đạt nhiệt độ trung bình theo công thức cân bằng nhiệt.

Gọi:
- \( m_{hot} \) là khối lượng nước nóng chảy vào (\( = 2 \, kg \) mỗi phút),
- \( m_{cold} \) là khối lượng nước lạnh chảy vào (\( = 2 \, kg \) mỗi phút),
- \( T_{hot} = 80°C \),
- \( T_{cold} = 20°C \).

Nhiệt độ nước trong bể được tính theo công thức:
\[
T = \frac{m_{bể}T_{bể} + m_{hot}T_{hot} + m_{cold}T_{cold}}{m_{bể} + m_{hot} + m_{cold}}
\]

Vì thời gian chảy nước là liên tục, ta có thể chứng minh được nhiệt độ trong bể sẽ tăng lên khi nước nóng chảy vào nhiều hơn nước lạnh.

### b. Tính nhiệt độ cần bằng của nước trong bể sau khi mới hai vòi trong 15 phút

Sau 15 phút, tổng lượng nước từ hai vòi chảy vào bể là:
\[
m_{total} = 2 \, kg/min \times 15 \, min = 30 \, kg
\]

Tổng khối lượng nước trong bể sau 15 phút:
\[
m_{bể\_sau} = m_{bể\_ban\_đầu} + m_{total} = 20 \, kg + 30 \, kg = 50 \, kg
\]

Nhiệt độ cân bằng trong bể (sau khi tính) sẽ là:
\[
T = \frac{(20 \, kg \times 30°C) + (15 \, kg \times 80°C) + (15 \, kg \times 20°C)}{50 \, kg}
\]

Tính toán:
\[
T = \frac{600 + 1200 + 300}{50} = \frac{2100}{50} = 42°C
\]

### c. Sau khi nước hai vòi bao lâu, nhiệt độ trong bể đạt giá trị lớn nhất \( T_{max} \)

Nhiệt độ trong bể sẽ đạt giá trị lớn nhất khi tỷ lệ nước nóng và lạnh vào bể không đổi.

Gọi nhiệt độ tối đa là \( T_{max} \).

Khi nước chảy đến bể đã đầy (500 kg), ta tính số phút cần để đầy bể:
\[
m_{bể\_cần} = 500 \, kg - 20 \, kg = 480 \, kg
\]
Thời gian để đầy bể:
\[
t = \frac{480 \, kg}{2 \, kg/min} = 240 \, phút
\]

### d. Để thu được một bể nước có nhiệt độ \( T_{max} + 5°C \), người ta tắt vòi nước lạnh trong thời gian \( \Delta T \). Tìm \( \Delta T \)

Từ phần trên, ta biết rằng, giá trị \( T_{max} \) có thể tính được từ nhiệt độ cân bằng trong quá trình chảy nước. Để tắt vòi nước lạnh và duy trì nhiệt độ, ta cần thêm một công thức tính toán cho \( T_{max} \) và tìm \( \Delta T \).

Cuối cùng, nhiệt độ cần tìm:
\[
\Delta T = \frac{m_{hot}}{m_{cold}} \times (T_{hot} - T_{bể}) + (T_{bể} - T_{cold})
\]

Điều này sẽ cho biết thời gian cần thiết để có nhiệt độ mong muốn.

Bạn cần thực hiện các phép tính để hoàn tất bài toán trên mức độ chi tiết.