Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD < AB + BD (1)

Trong tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AD < AC + CD (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + CD = AB + AC + (BD + CD)

Hay 2AD < AB + AC + BC

Suy ra AD < 12(AB + AC + BC).

Mặt khác chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC.

Do đó AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.