Khi đó, ta có: a, b, c là các số nguyên dương và 1≤b≤c

Diện tích tam giác ABC là: SABC=12bc.

Chu vi tam giác ABC là: a + b + c.

Theo đầu bài, ta có: a+b+c=12bc

⇔2(a+b+c)=bc(*)

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có: a2=b2+c2 (định lý Py – ta – go)

⇔a2=(b+c)2−2bc

⇔a2=(b+c)2−4(a+b+c)

⇔a2=(b+c)2−4a−4(b+c)

⇔a2+4a=(b+c)2−4(b+c)

⇔a2+4a+4=(b+c)2−4(b+c)+4

⇔(a+2)2=(b+c−2)2

⇔a+2=b+c−2(b+c≥2)

⇔a=b+c−4

Thay a = b + c – 4 vào (*) ta được:

2(b + c – 4 + b + c) = bc

⇔ 4b + 4c – 8 – bc = 0

⇔ (4b – bc) + (4c – 16) = - 8

⇔ b(4 – c) + 4(c – 4) = - 8

⇔ (b – 4)(4 – c) = - 8

⇔ (b – 4)(c – 4) = 8

Vì b, c là các số nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:

TH1: {b−4=4c−4=2⇔{b=8c=6⇒a2=82+62=100⇔a=10.

TH2: {b−4=1c−4=8⇔{b=5c=12⇒a2=52+122=169⇔a=13.

Vậy có hai tam giác vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là hai tam giác có các kích thước là: (6, 8, 10) và (5, 12, 13).