⦁ Vì ∆ABC vuông cân tại C nên CAB^=45°.

Ta có CEB^=CAB^=45° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB của đường tròn (O)).

Mặt khác, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF, do đó CIF^, CEF^ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung CF của đường tròn (I), suy ra CIF^=2·CEF^=2·45°=90°.

Mà IC = IF suy ra tam giác ICF vuông cân tại I, do đó ICF^=45° (1)

⦁ Vì ∆ABC vuông cân tại C nên ACB^=90° do đó AB là đường kính của đường tròn (O; R), khi đó CO là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của tam giác.

Suy ra  ACO^=12ACB^=12·90°=45°. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểm I nằm trên AC.

Vậy khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì I di chuyển trên đoạn thẳng AC cố định.