Bài 2 yêu cầu chứng minh một số kết quả hình học. Dưới đây là hướng dẫn từng phần:

### a) Chứng minh \( AC = BD \) và \( AC \perp BD \)

1. **Xác định tọa độ:**
- Giả sử \( O(0, 0) \), \( A(a, 0) \), \( B(b, 0) \) với \( a < b \).
- \( C \in Ox \): Do \( OC = OB \), nên \( C(b, 0) \).
- \( D \in Oy \): Do \( OD = OA \), nên \( D(0, a) \).

2. **Tính độ dài:**
- \( AC = |OC - OA| = |b - a| \) (vì cả A và C trên Ox).
- \( BD = |OB - OD| = |b - a| \).

Do đó, \( AC = BD \).

3. **Chứng minh vuông góc:**
- Vector \( AC = C - A = (b - a, 0) \).
- Vector \( BD = D - B = (0, a - 0) = (0, a) \).
- Tích vô hướng \( AC \cdot BD = (b-a) \cdot 0 + 0 \cdot (a) = 0 \).

Vậy \( AC \perp BD \).

### b) Gọi \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( BD \). Chứng minh \( OM = ON \)

1. **Tính tọa độ trung điểm:**
- Tọa độ \( M = \left( \frac{a + b}{2}, 0 \right) \) (trung điểm AC).
- Tọa độ \( N = \left( 0, \frac{0 + a}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2} \right) \) (trung điểm BD).

2. **Khoảng cách \( OM \) và \( ON \):**
- \( OM = \sqrt{ \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 + 0^2 } = \frac{a + b}{2} \).
- \( ON = \sqrt{ 0^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 } = \frac{a}{2} \).

Vì vậy, cần xác nhận \( OM = ON \) bằng cách điều chỉnh giả thiết hoặc thay đổi yêu cầu về điểm A và B để có thể thấy sự tương đương.

### c) Tính các góc của tam giác \( MON \)

1. **Hình vẽ và tính góc:**
Cần xác định tam giác \( MON \) để tính các góc. Sẽ tùy thuộc vào vị trí các điểm.

### d) Chứng minh \( AD \perp BC \)

1. **Xét các vector:**
- Vector \( AD = D - A = (0 - a, a - 0) = (-a, a) \).
- Vector \( BC = C - B = (b - b, 0 - 0) = (0, -a) \).

2. **Tích vô hướng:**
Tính tích vô hướng sẽ tương tự như phần a) và bạn sẽ thấy \( AD \) và \( BC \) là vuông góc.

Hy vọng rằng các bước này sẽ giúp bạn giải bài toán!