Để rút gọn biểu thức \( A = 2 - 4 + 6 - 8 + \ldots - 2020 + 2022 - 2024 \), chúng ta có thể nhóm các số hạng lại với nhau theo cặp.

Sắp xếp lại các số hạng như sau:

\[
A = (2 - 4) + (6 - 8) + \ldots + (2020 - 2024) + 2022
\]

Mỗi cặp có dạng \( (2n - (2n + 2)) = -2 \), với \( n = 1, 3, 5, \ldots, 1010 \). Lưu ý rằng các số hạng từ 2 đến 2024 là các bội số của 2.

Chúng ta cần xác định số các cặp số hạng từ 2 đến 2024. Từ 2 đến 2024 có tất cả là \( \frac{2024 - 2}{2} + 1 = 1012 \) số hạng (bởi vì \( 2, 4, 6, \ldots, 2024 \)). Trong đó, số hạng cuối (2024) không tạo thành cặp nên ta phải xem xét lại số cặp.

Số cặp sẽ là \( \frac{1012 - 1}{2} = 505 \) cặp, mỗi cặp cho kết quả là \( -2 \):

\[
505 \cdot (-2) = -1010
\]

Cuối cùng, ta cộng thêm số hạng \( 2022 \):

\[
A = -1010 + 2022 = 1012
\]

Vậy kết quả rút gọn của biểu thức là:

\[
\boxed{1012}
\]