Chứng minh các tỉ số sau

Để chứng minh các tỉ số trong hình thang \(ABCD\) với \(AD \parallel BC\), ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và các cặp tam giác đồng dạng.

**Chứng minh: \(AD = BC\)**

1. **Xét các tam giác**: Xét tam giác \(ADH\) và \(BCK\):
- \(AH = BK\) (cùng vuông góc từ điểm \(A\) và \(B\) đến \(HC\))
- \(DH = CK\) (cụ thể là chiều cao từ \(D\) và \(C\) xuống đường thẳng \(AB\) cũng như \(DC\)).
- Hai tam giác này có chung cạnh huyền \(AB\).

2. **Tam giác đồng dạng**: Do đó, \(\triangle ADH \sim \triangle BCK\).

3. **Áp dụng tỉ lệ**: Vì tam giác đồng dạng:
\[
\frac{AD}{BC} = \frac{AH}{CK} = \frac{DH}{BK}
\]
Từ giả thuyết đó, ta suy ra \(AD = BC\).

**Chứng minh: \(AC = BD\)**

1. **Xét tam giác**: Xét tam giác \(AHC\) và \(BHD\):
- \(\angle AHC = \angle BHD = 90^\circ\) (các góc vuông tại \(H\) và \(K\)).
- Đường chéo \(AC\) và \(BD\) đều là cạnh huyền tạo bởi cạnh thẳng đứng.

2. **Tam giác đồng dạng**: Tương tự, ta có hai tam giác \(AHC\) và \(BHD\) đồng dạng.

3. **Áp dụng tỉ lệ**: Do đó, ta có:
\[
\frac{AC}{BD} = \frac{AH}{BH} = \frac{KC}{KC}
\]
Từ đó suy ra \(AC = BD\).

Kết luận, ta đã chứng minh được \(AD = BC\) và \(AC = BD\) trong hình thang \(ABCD\).